MATEMATIKA

Apa itu Matematika ? Matematika adalah kata yang berasa dari bahasa yunani kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran,ilmu yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus,μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.

Materi Matematika Kelas untuk SMA sebagai berikut :

 1. Materi  Matematika kelas X semester 1 dan 2 yaitu membahas :

• BAB 1 Pangkat, Akar, dan Logaritma
• BAB 2. Fungsi Kuadrat
• BAB 3. Sisitem Persamaan Linear
• BAB 4. Trigonometri I
• BAB 5. Logika Matematika
• BAB 6. Dimensi Tiga

2. Materi Matematika Kelas XI  semester 1 dan 2 membahas :

• BAB 7. Statistika
• BAB 8. Peluang
• BAB 9. Trigonometri II
• BAB 10. Lingkaran
• BAB 11. Suku Banyak
• BAB 12. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
• BAB 13. Limit Fungsi
• BAB 14. Turunan (Derivatif)

 3. Materi Matematika Kelas XII membahas :

• BAB 15. Integral
• BAB 16. Program Linear
• BAB 17. Matriks
• BAB 18. Vektor
• BAB 19. Tranformasi
• BAB 20. Barisan dan deret
• BAB 21. Fungsi Eksponen dan Logaritma

Berikut ini saya akan tampilkan salah satu materi kelas XI yaitu Peluang.

Materi Peluang.
Silahkan anda pelajari materi peluang ini yang saya sajikan secara ringkas melalui contoh-contoh sederhana.
A. KAIDAH PENCACAHAN

 1. Aturan Pengisian Tempat
         Andi diundang menghadiri acara ulang tahun temannya. Andi mempunyai tiga buah               baju dua buah celana.
Baju     : Merah, Kuning, Ungu
Celana : Hitam, Biru
Ada berapa cara Andi dapat mamasang-masangkan baju dan celananya?
Penyelesaian:
Banyaknya pasangan celana dan baju  yang dapat dipakai Andi ada 6 yaitu:
{(hitam, kuning), (hitam, merah), (hitam, ungu),(biru, kuning), (biru, merah), (biru, ungu)}

2. Faktorial
Definisi:
n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
1! = 1 dan 0! = 1
Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.
1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
2. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12
       7!       7×6×5×4×3×2×1
3.  —— = ———————— = 7 × 6 × 5 = 210
       4!            4×3×2×1

3. Permutasi
Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih 3 orang untuk menempati posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa banyak cara memilih pengurus ?
Penyelesaian:
Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 tempat kosong yang akan diisi dari 5 calon pengurus yang tersedia.

5

x

4

x

3

Kotak (a) dapat diisi dengan 5 calon karena calonnya ada 5
Kotak (b) dapat diisi dengan 4 calon karena 1 calon sudah diisikan di kotak (a).
Kotak (c) dapat diisi dengan 3 calon karena 2 calon sudah diisikan di kotak sebelumnya.
Sehingga banyaknya susunan pengurus kelas adalah 5 × 4 × 3 = 60.
Susunan semacam ini disebut permutasi karena urutannya diperhatikan, sebab ketua, sekretaris, bendahara tidak sama dengan sekretaris, ketua, bendahara.

a. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
       Permutasi pada contoh ini disebut permutasi 3 dari 5 unsur dan
       dinotasikan dengan  P(5.3) atau 5P3, sehingga:

         5P3 = 5 × 4 × 3
      = 5 × (5 – 1) × (5 – 2)
      = 5 × (5 – 1) × …..× (5 – 3 + 1),
Secara umum dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan:
nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)
Atau dapat juga ditulis:
                                                                       (n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1
nPr =n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1) x ——————————
                                                                       (n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1

           n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)(n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1
nPr =——————————————————————————
                                 (n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1

             n!
nPr =————
        (n – r)!

Contoh:
Akan disusun berjajar bendera  negara-negara: Inggris, Prancis, Jerman, Belanda, Spanyol dan Yunani. Tentukan banyaknya cara memasang bendera tersebut jika bendera Inggris dan Prancis harus selalu  berdampingan !
Penyelesaian:
Banyaknya negara ada 6 tetapi Inggris dan Prancis harus berdampingan sehingga Inggris dan Prancis dihitung 1. Jadi banyaknya negara ada 5,
untuk menyusun benderanya 5P5 = 5!
Inggris dan Prancis dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 5! x 2!
                            = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
                            = 240 
b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita lihat contoh berikut.
Berapakah banyaknya kata yang dapat disusun dari huruf-huruf pembentuk kata: A, D, A, M  ?
Penyelesaian:
Banyaknya kata = {(ADAM), (ADMA), (AMAD), (AMDA), (AAMD), (AADM), (DAAM), (DAMA), (DMAA), (MAAD), (MADA), (MDAA)}
ternyata banyaknya kata hanya ada 12, hal ini berbeda kalau tidak ada huruf yang sama banyaknya cara ada 4! = 24
Dari contoh dapat dijabarkan 12 = 4 × 3 atau permutasi 4 unsur dengan 2
                               4!
unsur sama ditulis: ——
                               2!
Secara umum banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus:
            n!
 P = ————
         k! l! m!

c. Permutasi Siklis
Andi, Budi dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja. Berapakah banyak cara mereka  dapat duduk mengelilingi meja tersebut?
Kalau mereka duduk berjajar banyaknya cara ada 3! = 6 yaitu
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Bagaimana kalau mereka mengelilingi sebuah meja ?
Kemungkinan 1 diperoleh bahwa ABC = CAB = BCA
Kemungkinan 2 diperoleh bahwa ACB = CBA = BAC
Sehingga banyak cara mereka duduk hanya ada 2 cara
ternyata banyaknya cara 3 orang duduk mengelilingi sebuah meja = (3 - 1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis dapat ditentukan dengan rumus:
       
  P= (n - 1)!

4. Kombinasi
Ada tiga sahabat yang baru bertemu setelah sekian lama, mereka adalah
Adi, Budi, dan Candra. Saat bertemu mereka saling berjabat tangan, tahukah kamu berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}.
Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}.
Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunan yang sama, hal ini disebut kombinasi. Di lain pihak {Adi, Budi}, {Budi, Adi} menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakan permutasi yang berbeda.
Dari contoh dapat diambil kesimpulan:
Permutasi  = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Adi,
                     Budi – Candra, Candra – Adi, Candra – Budi
                   = 6 karena urutan diperhatikan
Kombinasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Candra
                   = 3 karena urutan tidak diperhatikan
                           6         permutasi
Kombinasi = 3 =—— = ——————
                           2                2
Jadi kombinasi dari 3 unsur diambil 2 unsur ditulis:
            3P2              3!
3C2 = —— = ————
           2       2! (3 − 2)!

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda diambil  r unsur
                             n
ditulis  dengan C  atau C(n. r) atau nCr, sehingga:
                             r

              P                 n!
nCr =———— = ————
            r!           (n - r)! r!